Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

1

an•an+1

}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n=na_n-2n（n-1），得数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列，由此能求出求a₂，a₃，a₄，{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）利用裂项求和法能证明T_n＜

1

4

．

解答： （Ⅰ）解：由S_n=na_n-2n（n-1），
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
∴a_n+1-a_n=4，
∴数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列…（4分）
∴a_n=4n-3，a₂=5，a₃=9，a₄=13…（7分）
（求出a₂，a₃，a₄给（3分），猜出通项公式给5分）
（Ⅱ）证明：∵Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

[1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n+3

-

1

4n+1

]=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

，
∴T_n＜

1

4

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查不等式的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．