Question

（1）已知a，b∈R，求证：a²+b²≥ab+a+b-1．
（2）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：|1-ab|＞|a-b|．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）欲证明a²+b²≥ab+a+b-1，利用比较法，只须证明　（a²+b²）-（ab+a+b-1）＞0即可，故先作差后因式分解后与0比较即可；
（2）首先化简|1-ab|²-|a-b|²可得，|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）；结合题意中|a|＜1，|b|＜1，可得a、b的范围，进而可得|1-ab|²-|a-b|²＞0，由不等式的性质，可得答案．

解答： 证明：（1）（a²+b²）-（ab+a+b-1）
=

1

2

（2a²+2b²-2ab-2a-2b+2）
=

1

2

[（a²-2ab+b²）+（a²-2a+1）+（b²-2b+1）]
=

1

2

[（a-b）²+（a-1）²+（b-1）²]≥0，
则a²+b²≥ab+a+b-1；
（2）|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）．
由于|a|＜1，|b|＜1，则a²-1＜0，b²-1＜0．
则|1-ab|²-|a-b|²＞0，
故有|1-ab|＞|a-b|．

点评：本题考查不等式的证明，考查比较法的运用以及不等式性质的基本运用，注意结合题意，进行绝对值的转化，属于中档题．