Question

已知函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）当x∈[1，2]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数g（x）=|f（x）|（a≥0）在[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将f（x）＞0分离参变量转化为最值问题．
（2）对a进行分类讨论即可．

解答： 解：（1）当x∈[1，2]时，ax²-2x+1＞0恒成立，可以化为：a＞-

1

x2

+

2

x

=-(

1

x

-1)2+1 恒成立，又-(

1

x

-1)2+1在x∈[1，2]上的最大值为1，所以a＞1．
（2）当a=0时，g（x）=2|2x-1|在[1，2]时上是增函数；
当a＞0时，g（x）=|a（x-

1

a

）²+1-

1

a

|
①若1-

1

a

≥0，

1

a

≤1，即a≥1时，g（x）=|a（x-

1

a

）²+1-

1

a

|=a（x-

1

a

）²+1-

1

a

在[1，2]上是增函数；
②若1-

1

a

＜0，即0＜a＜1时，设方程f（x）=0的两根为x₁ x₂且x₁＞x₂，此时g（x）
在[x₁，

1

a

]和[x₂，+∞）上是增函数，
1°若[1，2]⊆[x₁，

1

a

]，则

1 a ≥2 f(1)=a-1≤0

，解得0＜a≤

1

2

；
 2°若[1，2]⊆[x₂，+∞）则

1 a ＜1 f(1)=a-1≥0

得a＞1，无解；
综上所述0≤a≤

1

2

或a≥1．

点评：本题以求范围为载体讨论了函数的恒成立与函数的单调性问题，属于中档题，难度较大．