Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，其前n项和为T_n，且b₂+S₂=11，2S₃=9b₃．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项；
（2）问是否存在正整数m，n，r，使得T_n=a_m+r•b_n成立？如果存在，请求出m，n，r的关系式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先求出等差数列{a_n}的公差d，即可求出数列{a_n}和数列{b_n}的通项；
（2）先求出T_n，所以有2ⁿ-1=3m+r•2^n-1．…（*）讨论可得只有当n为大于1的奇数时，r=1，m=

2n-1-1

3

；当n为偶数时，不存在．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则

q+3+3+d=11 2(3+3+d+3+2d)=9q2

…（2分）
解得d=3，q=2．   …（4分）
所以an=3n，bn=2n-1．    …（6分）
（2）因为Tn=1+2+…+2n-1=2n-1，…（7分）
所以有2ⁿ-1=3m+r•2^n-1．…（*）
若r≥2，则r•2^n-1＞2ⁿ-1，（*）不成立，所以r=1，m=

2n-1-1

3

．…（9分）
若n为奇数，①当n=1时，m=0，不成立，…（10分）
②当n≥1时，设n=2t+1，t∈N^*，则m=

2n-1-1

3

=

22t-1

3

=

4t-1

3

∈Z…（12分）
若n为偶数，设n=2t，t∈N^*，则m=

2n-1-1

3

=

22t-1-1

3

=

2•4t-1-1

3

=2•

4t-1-1

3

+

1

3

，
因为

4t-1-1

3

∈Z，所以m∉Z．…（14分）
综上所述，只有当n为大于1的奇数时，r=1，m=

2n-1-1

3

．
当n为偶数时，不存在．   …（16分）

点评：本题主要考察了数列的求和，解题时注意隐藏条件，要耐心细致，属于中档题．