Question

已知函数f（x）在R上为奇函数，当x＞0时f（x）=2x+1，则函数f（x）的解析式为

 

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Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先考虑x=0时的情况，利用奇函数的定义即可获得函数值，然后考虑x＜0时的情况，任设x∈（-∞，0），
则-x＞0，利用已知条件：当x＞0时，f（x）=2x+1和函数f（x）是定义在R上的奇函数，化简即可获得x＜0时的解析式．最后写成分段函数的形式即可．

解答： 解：由题意可知：
当x=0时，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
当x＜0时，任设x∈（-∞，0），则-x＞0，
又因为：当x＞0时，f（x）=2x+1，
所以：f（-x）=-2x+1=-2x+1，
又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴-f（x）=2x-1，
∴f（x）=-2x+1．
所以函数f（x）在R上的解析式为：f（x）=

2x+1，(x＞0) 0，(x=0) -2x+1，(x＜0)

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故答案为：f（x）=

2x+1，(x＞0) 0，(x=0) -2x+1，(x＜0)

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点评：本题考查的是函数的奇偶性和解析式求解的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、奇函数的定义以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．