Question

若函数f（x）=

1

3

x3-

a+1

2

x2+a2x+(a-1)3有极值，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：求得由题意可得f′（x）=x²-（a+1）x+a²，有两个不相等的实数解，即△＞0，解得即可．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x3-

a+1

2

x2+a2x+(a-1)3，
∴f′（x）=x²-（a+1）x+a²，
∵函数f（x）=

1

3

x3-

a+1

2

x2+a2x+(a-1)3有极值，
∴f′（x）=x²-（a+1）x+a²，有两个不相等的实数解，
∴△＞0，即（a+1）²-4a²＞0，解得-

1

3

＜a＜1，
∴a∈(-

1

3

，1)．
故答案为(-

1

3

，1)．

点评：本题主要考查函数的极值与导数的关系，属于中档题．