Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点，
（1）求证：A₁C∥平面BDE；
（2）求三棱锥E-BCD的体积；
（3）求点E到点C₁的距离|EC₁|．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）确定EF∥A₁C，根据直线与平面平行的判定定理可以判断A₁C∥平面BDE
（2）根据条件公式求解，（3）运用距离公式求解．

解答： （1）证明：连接AC交BD于点F，连接EF
由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁知，四边形ABCD为正方形；
∴F为AC中点，又已知E为AA₁中点，
则EF∥A₁C，又EF⊆平面BDE∴A₁C∥平面BDE
（2）分别以AB，AD，AA₁为x，y，z轴建立坐标系，
得出：E（0，0，1），C₁（2，2，2）
∴|EC1|=

(2-0)2+(2-0)2+(2-1)2

=3

点评：本题考察了空间直线的位置关系，求解体积距离等问题，属于中档题．