Question

16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且$\frac{c}{cosC}$=$\frac{a+b}{cosA+cosB}$．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角C的大小．
（2）根据三角形的边角关系，利用正弦定理进行求解即可．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知及正弦定理可得：$\frac{sinC}{cosC}=\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
得sin（C-A）=sin（B-C），
所以C-A=B-C，或C-A=π-（B-C）（不成立），
即2C=A+B，
所以$C=\frac{π}{3}$．…（4分）
（2）由$C=\frac{π}{3}$，设$A=\frac{π}{3}+α，B=\frac{π}{3}-α$，$0＜A，B＜\frac{2π}{3}$，
所以$-\frac{π}{3}＜α＜\frac{π}{3}$，
因为a=2RsinA=sinA，b=2RsinB=sinB，…（7分）
故${a^2}+{b^2}={sin^2}A+{sin^2}B=\frac{1-cos2A}{2}+\frac{1-cos2B}{2}$
=1-$\frac{1}{2}$[cos（$\frac{2π}{3}$+2α）+cos（$\frac{2π}{3}$-2α）]
=1+$\frac{1}{2}$cos2α，
由$-\frac{π}{3}＜α＜\frac{π}{3}$，得$-\frac{2π}{3}＜2α＜\frac{2π}{3}$，
所以$-\frac{1}{2}＜cos2α≤1$，
故$\frac{3}{4}＜{a^2}+{b^2}≤\frac{3}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查三角函数的化简，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于基础题．