Question

12．设两向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$满足$|\overrightarrow{e_1}|=2$，$|\overrightarrow{e_2}|=1$，$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$的夹角为60°，$\vec a=2$$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$$\vec b=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$，则$\vec a$在$\vec b$上的投影为（　　）

• A． $\frac{{5\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{5\sqrt{21}}}{7}$
• C． $\frac{{5\sqrt{7}}}{7}$
• D． $\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据平面向量投影的定义，计算$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$、$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$以及|$\overrightarrow{b}$|的值，代入投影公式计算即可．

解答 解：$|\overrightarrow{e_1}|=2$，$|\overrightarrow{e_2}|=1$，$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=2×1×cos60°=1；
又$\vec a=2$$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$，$\vec b=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+5$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=2×2²+5×1+2×1²=15，
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{4\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$=$\sqrt{4+4×1+4×1}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\vec a$在$\vec b$上的投影为|$\overrightarrow{a}$|cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{15}{2\sqrt{3}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，是基础题．