Question

曲线f（x）=

4x-8

在点A（6，4）处的切线为l．
（1）求切线l的方程；
（2）求切线l与x轴以及曲线f（x）所围成的封闭图形的面积S．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,定积分

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数f'（x），再求出f'（6）的值得到曲线在点A处的切线斜率，利用直线的点斜式方程列式，化简即得切线l的方程；
（2）算出曲线在x轴上的交点坐标，可得封闭图形的面积为S=

1

2

×2×2+

∫

6 2

（

1

2

x+1-

4x-8

）dx，再利用积分计算公式加以计算即可得到答案．

解答： 解：（1）∵求导数，得f'（x）=

1

x-2

，
∴曲线f（x）=

4x-8

在点A（6，4）处的切线斜率为f'（6）=

1

2

，
因此，切线l的方程为y-4=

1

2

（x-6），化简得x-2y+2=0；
（2）x-2y+2=0，令y=0，得x=-2，f（x）=

4x-8

=0得x=2，
∴封闭图形的面积为S=

1

2

×2×2+

∫

6 2

（

1

2

x+1-

4x-8

）dx=2+[x2+x-

1

6

(4x-8)

3

2

]

|

6 2

=

94

3

．

点评：本题给出曲线f（x）=

4x-8

点A处的切线方程，并依此求封闭图形的面积．着重考查了切线的方程求法、定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于中档题．