Question

13．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-12{x^2}+12x，x∈[{0，1}]\\-4{x^2}+12x-8，x∈（1，2]\end{array}$，若函数g（x）=f（x）-a|x|（a≠0），在区间[-3，3]上至多有9个零点，则a=20-8$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用f（x）的周期与对称性得出f（x）在（2，3）上的解析式，由g（x）的零点个数可得y=ax与f（x）在（2，3）上的图象相切，根据斜率的几何意义列方程组解出a．

解答 解：f（2）=-4×2²+12×2-8=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）的周期为4．
作出f（x）在[-3，3]上的函数图象，如图所示：

令g（x）=0得f（x）=a|x|，
∴当x＞0时，y=ax与y=f（x）在（2，3）上的函数图象相切，
∵1＜x＜2时，f（x）=-4x²+12x-8，且f（x）是偶函数，
∴当-2＜x＜-1时，f（x）=-4x²-12x-8，
又f（x）周期为4，则当2＜x＜3时，f（x）=-4（x-4）²-12（x-4）-8=-4x²+20x-24，
设y=ax与y=f（x）在（2，3）上的切点坐标为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{-8{x}_{0}+20=a}\\{-4{{x}_{0}}^{2}+20{x}_{0}-24={y}_{0}}\\{a{x}_{0}={y}_{0}}\end{array}\right.$，解得x₀=$\sqrt{6}$，a=20-8$\sqrt{6}$．
故答案为：$20-8\sqrt{6}$．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期性与对称性的应用，属于中档题．