Question

2．已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数t，使$f（{\frac{t}{2}}）$≤m-f（-t）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，可得a-3=-2，从而求得a的值．
（2）由题意可得|t-1|+|2t+1|+2≤m，根据函数y=|t-1|+|2t+1|+2=$\left\{\begin{array}{l}{2-3t，t≤-\frac{1}{2}}\\{t+4，-\frac{1}{2}＜t＜1}\\{3t+2，t≥1}\end{array}\right.$，得y的最小值，从而求得m的范围．

解答 解：（1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6-a≥0}\\{a-6≤2x-a≤6-a}\end{array}\right.$，
解得a-3≤x≤3．
再根据不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，可得a-3=-2，
∴a=1．
（2）∵f（x）=|2x-1|+1，f（$\frac{t}{2}$）≤m-f（-t），
∴|t-1|+1≤m-（|-2t-1|+1），
∴|t-1|+|2t+1|+2≤m，
∵y=|t-1|+|2t+1|+2=$\left\{\begin{array}{l}{2-3t，t≤-\frac{1}{2}}\\{t+4，-\frac{1}{2}＜t＜1}\\{3t+2，t≥1}\end{array}\right.$，
∴y_min=3.5，
∴m≥3.5，即m的范围是[3.5，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．