题目内容

非零向量
a
，
b
夹角为60°，且|
a
-
b
|=1，则|
a
+
b
|的取值范围为
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：非零向量
a
，
b
夹角为60°，|
a
-
b
|=1，可得
a
2+
b
2=|
a
||
b
|+1≥2|
a
||
b
|，可得|
a
||
b
|≤1．于是|
a
+
b
|=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=
2|
a
||
b
|+1
，即可得出．
解答： 解：∵非零向量
a
，
b
夹角为60°，|
a
-
b
|=1，∴
a
2+
b
2-2
a
•
b
=1，即
a
2+
b
2-2|
a
||
b
|cos60°=1，
化为
a
2+
b
2=|
a
||
b
|+1≥2|
a
||
b
|，可得|
a
||
b
|≤1．当且仅当|
a
|=|
b
|=1时取等号．
∴|
a
+
b
|=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=
a
2+
b
2+2|
a
||
b
|cos60°
=
2|
a
||
b
|+1
，
∴1＜2|
a
||
b
|+1≤3，
∴1＜|
a
+
b
|≤
3
．
∴|
a
+
b
|的取值范围为(1，
3
]．
故答案为：(1，
3
]．
点评：本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中所有棱长都为2，底面ABCD为正方形，侧面DD1C1C⊥底面ABCD，∠D1DC=60°
（Ι）证明：平面CDD1C1⊥平面DAA1D1；
（Ⅱ）若O为底面ABCD的对角线交点，求四面体B1-A1OC1的体积．
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=
3
，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（1）若PB=
1
2
，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a7+a11=6，则S13=
 
．
在极坐标系中，圆C：ρ=2cosθ上任意一点到点Q（
2
，
π
4
）的最大距离为
 
．
已知直线l的斜率k∈[-1，
3
]，则直线l的倾斜角α的取值范围是
 
．
已知E，F为圆O：x2+y2=9一直径的两个端点，D为直线x-y+6=0上一动点，则
DE
•
DF
的最小值为
 
．
在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若2bcosA=ccosA+acosC，则cosA=
 
．
已知集合A={x|
1
4
≤x≤4}，B={y|y=log2x-1，x∈A}，则A∩B=
 
．

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