Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=

3

，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（1）若PB=

1

2

，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由题意利用直角三角形中的边角关系求得∠PBC=60°，∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°．在△PBA中，由余弦定理求得PA的值．
（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，在△PBA中，由正弦定理求得tanα的值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由于AB=

3

，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，
直角三角形PBC中，若PB=

1

2

，∵cos∠PBC=

PB

BC

=

1 2

1

=

1

2

，∴∠PBC=60°．
∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=90°-60°=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA²=3+

1

4

-2×

3

×

1

2

cos30o=

7

4

，∴PA=

7

2

．
（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，在△PBA中，由正弦定理得，

3

sin150o

=

sinα

sin(30o-α)

，
化简得，

3

cosα=4sinα，∴tanα=

3

4

，即tan∠PBA=

3

4

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形的内角和公式，属于基础题．