Question

已知{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，S_n表示{a_n}的前n项和．
（1）求a_n及S_n；
（2）设数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求证：当n∈N₊都有T_n＞

n

n+1

成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接利用等差数列通项公式和前n项和公式得答案；
（2）把S_n取倒数，求和后放大，再利用裂项相消法求和，则结论得到证明．

解答： 解：（1）∵{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
故Sn=1+3+…+(2n-1)=

n(a1+an)

2

=

n(1+2n-1)

2

=n2；
（2）由（1）得，Tn=

1

12

+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＞

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n×(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．