Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点），|PA|+|PC₁|=m，
①若m=2，则满足条件的点P的个数为

 

．
②若满足|PA|+|PC₁|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题意可得点P是以2c=

3

为焦距，以a=1为长半轴，

1

2

为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．
（2）利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短半轴长小于

2

2

，求出m的范围．

解答： 解：∵正方体的棱长为1，
∴AC₁=

3

，
∵|PA|+|PC₁|=2，
∴点P是以2c=

3

为焦距，以a=1为长半轴，以

1

2

为短半轴的椭圆，
∵P在正方体的棱上，
∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，
结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B₁C₁，C₁D₁，CC₁，AA₁，AB，AD上各有一点满足条件．
故满足条件的点P的个数为6个．

（2）∵|PA|+|PC₁|=m＞|AC₁|=

3

，
∴m＞

3

，
∵正方体的棱长为1
∴正方体的面的对角线的长为

2

，
∵点P的个数为6，
∴b＜

2

2

∵短半轴长b=

m2 4 - 3 4

=

m2-3

2

，
∴

m2-3

2

＜

2

2

，
∴m＜

5

，
∴m的取值范围是（

3

，

5

）
故答案为：6，（

3

，

5

）．

点评：本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．