Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA₁⊥底面ABC，且AA₁=2，E是BC的中点，F是A₁C上的点．
（1）求异面直线AE与A₁C所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）若EF⊥A₁C，求线段CF的长．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，则A₁E₁∥AE，即∠CA₁E₁即为异面直线AE与A₁C所成的角θ，连结E₁C，解三角形可得异面直线AE与A₁C所成角θ的大小，
（2）以A为原点，建立如图空间直角坐标系，设CF的长为x，根据EF⊥A₁C，对应向量的数量积为0，构造关于x的方程，解方程可得线段CF的长．

解答： 解：（1）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，则A₁E₁∥AE，
即∠CA₁E₁即为异面直线AE与A₁C所成的角θ．…（2分）
连结E₁C．
在Rt△E₁C₁C中，由E1C1=

2

2

，CC₁=2
知A1C=

1 2 +4

=

3 2

2

在Rt△A₁C₁C中，由A₁C₁=1，CC₁=2知A1C=

5

…（4分）
在△A₁E₁C中，cosθ=

( 2 2 )2+( 5 )2-( 3 2 2 )2

2• 2 2 • 5

=

1

10

=

10

10

∴θ=arccos

10

10

…（6分）
（2）以A为原点，建立如图空间直角坐标系，设CF的长为x
则各点的坐标为，E(

1

2

，

1

2

，0)，F(0，1-

5

5

x，

2 5

5

x)，A₁（0，0，2），C（0，1，0）…（2分）
∴

EF

=(-

1

2

，

1

2

-

5

5

x，

2 5

5

x)，

A1C

=(0，1，-2)
由EF⊥A₁C知

EF

•

A1C

=0…（4分）
即

1

2

-

5

5

x-2•

2 5

5

x=0，解得x=

5

10

∴线段CF的长为

5

10

…（6分）

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，空间向量垂直，难度不大，属于基础题．