Question

16．已知sinx+siny=$\frac{2}{3}$，则$\frac{1}{6}$+siny-$\frac{1}{2}$cos2x的取值范围是[$\frac{1}{12}$，$\frac{7}{9}$]．

Answer 1

分析 把siny=$\frac{2}{3}$-sinx代入式子化简，使用换元法转化为二次函数的值域．

解答 解：∵sinx+siny=$\frac{2}{3}$，∴siny=$\frac{2}{3}$-sinx，∵-1≤siny≤1，∴-1≤$\frac{2}{3}$-sinx≤1，解得-$\frac{1}{3}$≤sinx≤1．
∴$\frac{1}{6}$+siny-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{6}$+$\frac{2}{3}$-sinx-$\frac{1}{2}$（1-2sin²x）=sin²x-sinx+$\frac{1}{3}$．
令sinx=t，则-$\frac{1}{3}$≤t≤1，∴$\frac{1}{6}$+siny-$\frac{1}{2}$cos2x=t²-t+$\frac{1}{3}$=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{12}$．
∴当t=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{6}$+siny-$\frac{1}{2}$cos2x取得最小值$\frac{1}{12}$；当t=-$\frac{1}{3}$时，$\frac{1}{6}$+siny-$\frac{1}{2}$cos2x取得最大值$\frac{7}{9}$．
故答案为[$\frac{1}{12}$，$\frac{7}{9}$]．

点评 本题考查了三角函数的性质，三角函数恒等变换，换元法，求出sinx的范围是解题关键．