Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1 在x=-

2

3

与x=1时都取得极值，
（1）求a，b的值．
（2）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导并令导数为0，方程的解为x=-

2

3

，x=1；代入求a，b值；
（2）由函数图象及极值可直接得到单调区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴3×（-

2

3

）²-2×

2

3

a+b=0，且3+2a+b=0．
解得，a=-

1

2

，b=-2．
（2）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+1 在x=-

2

3

与x=1时都取得极值，
且由三次函数的图象特征可知，
函数f（x）的单调增区间为（-∞，-

2

3

），（1，+∞）；
单调减区间为（-

2

3

，1）．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于基础题．