Question

已知向量序列：

a1

，

a2

，

a3

，…，

an

，…满足如下条件：|

a1

|=4|

d

|=2，2

a1

•

d

=-1且

an

-

an-1

=

d

（n=2，3，4，…）．若

a1

•

ak

=0，则k=

 

；|

a1

|，|

a2

|，|

a3

|，…，|

an

|，…中第

 

项最小．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得

ak

=

a1

+（k-1）

d

，由

a1

•

ak

=0可得k的方程，解方程可得；又可得|

an

|2=

1

4

（k-3）²+3，由二次函数的最值可得结论．

解答： 解：∵

an

-

an-1

=

d

，∴

ak

=

a1

+（k-1）

d

，
又∵|

a1

|=4|

d

|=2，2

a1

•

d

=-1
∴|

a1

|=2，|

d

|=

1

2

，

a1

•

d

=-

1

2

∴

a1

•

ak

=

a1

•[

a1

+（k-1）

d

]=

a1

2+（k-1）

a1

•

d

=2²+（k-1）（-

1

2

）=0，
解得k=9
∴|

ak

|2=[

a1

+（k-1）

d

]²=

a1

2+（k-1）²

d

2+2（k-1）

a1

•

d

=2²+

1

4

（k-1）²-（k-1）=

1

4

（k-3）²+3，
故当k=3时，上式取最小值，即|

a3

|最小，
故答案为：9；3

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值得应用，属中档题．