Question

4．已知等差数列{a_n}满足a₁=2，a₂+a₄=8．
（Ⅰ）若a₁，a₃，a_m成等比数列，求m的值；
（Ⅱ）设b_n=a_n+2^a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）设差数列{a_n}的公差为d，由a₁=2，a₂+a₄=8，可得2×2+4d=8，解得d．可得a_n．由a₁，a₃，a_m成等比数列，可得${a}_{3}^{2}$=a₁•a_m，即可得出．
（II）b_n=a_n+2^a_n=n+1+2ⁿ⁺¹．利用等差数列等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）设差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=2，a₂+a₄=8，∴2×2+4d=8，解得d=1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∵a₁，a₃，a_m成等比数列，∴${a}_{3}^{2}$=a₁•a_m，∴4²=2（m+1），解得m=7．
（II）b_n=a_n+2^a_n=n+1+2ⁿ⁺¹．
∴数列{b_n}的前n项和=$\frac{n（2+n+1）}{2}$+$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$=$\frac{{n}^{2}+3n}{2}$+2ⁿ⁺²-4．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．