Question

12．已知抛物线y²=2x和圆x²+y²-x=0，倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l经过抛物线的焦点，若直线l与抛物线和圆的交点自上而下依次为A，B，C，D，则|AB|+|CD|=3．

Answer 1

分析 由图形可以看出|AB|+|CD|等于弦长AD减去圆的直径，圆的直径易得，弦长AD可由抛物线的性质转化为求两端点A，D到抛物线准线的距离的和，由此求出两点横坐标的和，再求弦长AD．

解答 解：由圆x²+y²-x=0，即（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$可知，圆心为F（$\frac{1}{2}$，0），
半径为$\frac{1}{2}$，抛物线y²=2x，得到抛物线焦点为F（$\frac{1}{2}$，0），如图：
|AB|+|CD|=|AD|-|BC|
∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|=1，则|AB|+|CD|=|AD|-1．
设A（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
∵|AD|=|AF|+|FD|，而A、D在抛物线上，
由已知可知，直线l方程为y=x-$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{1}{2}}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$消去y，得4x²-12x+1=0，
∴x₁+x₂=3．∴|AD|=3+1=4，
因此，|AB|+|CD|=4-1=3．
故答案为：3．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是熟练掌握抛物线的定义与性质，通过这些将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，此转化有一个标志即直线是过焦点的．本题运算量大，极易因为运算出错．