Question

某校4名同学利用假期到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每人只能选择一个社区且选择互不影响．
（Ⅰ）求每个社区都有同学选择的概率；
（Ⅱ）设随机变量ξ为4名同学中选择甲社区的人数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）根据排列组合知识求解，每个社区都有同学选择的概率

36

81

=

4

9

；（2）确定随机变量ξ为4名同学中选择甲社区的人数为0，1，2，3，4，P（ξ=0），
P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）．

解答： 解：（1）某校4名同学利用假期到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，
每人只能选择一个社区且选择互不影响．
∴共有3⁴=81种结果，
∵每个社区都有同学选择；

C

2 4

A

3 3

=36种，
∴每个社区都有同学选择的概率

36

81

=

4

9

；
（2）设随机变量ξ为4名同学中选择甲社区的人数为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

16

81

，
P（ξ=1）=

C 1 4 •23

81

=

32

81

，
P（ξ=2）=

C 2 4 •22

81

=

24

81

，
P（ξ=3）=

C 3 4 •2

81

=

8

81

，
P（ξ=4）=

1

81

，

ξ	0	1	2	3	4
p	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

数学期望：E_ξ=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

96

81

，

点评：本题考查了离散型的概率分布，数学期望，属于中档题．