Question

已知函数f（x）=e^x-mx（e为自然对数的底数），其图象在点（0，f（0））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设不等式f（x）≥ax+1的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意求导，并令f′（0）=e⁰-m=0，从而求出m，再判断函数的单调性，从而求f（x）的最小值；
（Ⅱ）不等式f（x）≥ax+1的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P可化为f（x）≥ax+1在[0，2]上恒成立，令F（x）=e^x-x-ax-1，从而转化为求函数的最值问题，从而求实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=e^x-m，
则f′（0）=e⁰-m=0，故m=1；
故f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，
故f（x）在（-∞，0）上是减函数，在[0，+∞）上是增函数，
故f（x）的最小值为f（0）=1；
（Ⅱ）∵f（x）=e^x-x，
∴不等式f（x）≥ax+1可化为e^x-x-ax-1≥0，
又∵不等式f（x）≥ax+1的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，
∴e^x-x-ax-1≥0在[0，2]上恒成立，
令F（x）=e^x-x-ax-1，
则F′（x）=e^x-（1+a），
若a≤0，则F′（x）=e^x-（1+a）≥0，x∈[0，2]；
故F（x）=e^x-x-ax-1在[0，2]上是增函数；
故F（0）=1-0-1=0≥0，显然成立，
当a＞0时，F′（x）=e^x-（1+a）＜0，x∈[0，ln（1+a）]；
故在（0，ln（1+a）]上，
F（x）＜F（0）=0；
故e^x-x-ax-1≥0在[0，2]上不能恒成立；
综上所述，a≤0．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，注意到F（0）=0可以简化化简运算，属于难题．