Question

设集合A为函数y=ln（-x²-2x+8）的定义域，集合B为函数y=x+

1

x+1

的值域，集合C为不等式（ax-

1

a

）（x+4）≤0的解集．
（1）求A∩B； 
（2）若C⊆C_R（A），求a的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,交集及其运算

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对数函数的定义域与双钩函数的性质可求得集合A与B，从而可得A∩B； 
（2）由（ax-

1

a

）（x+4）≤0，知a≠0．分a＞0与a＜0两类讨论，利用C⊆C_R（A），即可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）由-x²-2x+8＞0，解得A=（-4，2），又y=x+

1

x+1

=（x+1）+

1

x+1

-1，
所以B=（-∞，-3]∪[1，+∞）．所以A∩B=（-4，-3]∪[1，2）…（6分）
（2）因为∁_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞）．
由（ax-

1

a

）（x+4）≤0，知a≠0．
①当a＞0时，由（ax-

1

a

）（x+4）≤0，得C=[-4，

1

a2

]，不满足C⊆∁_RA；
②当a＜0时，由（ax-

1

a

）（x+4）≤0，得C=（-∞，-4）∪[

1

a2

，+∞）…（10分）
欲使C⊆C_R（A），则

1

a2

≥2，解得-

2

2

≤a＜0或0＜a≤

2

2

．又a＜0，所以-

2

2

≤a＜0．
综上所述，所求a的取值范围是[-

2

2

，0）…（14分）

点评：本题考查函数的性质，主要考查对数函数的定义域，考查交集及其运算、分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．