Question

给出下列命题：
①函数y=

x

x2+4

在区间[1，3]上是增函数；
②函数f（x）=2^x-x²的零点有3个；
③不等式|x+1|+|x-3|≥a恒成立，则a≤4；
④已知a，b∈R⁺，2a+b=1，则

2

a

+

1

b

≥8；
⑤φ=

3

2

π是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件．
其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,作图题,不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：①化简函数y=

x

x2+4

=

1

x+ 4 x

，从而判断函数的单调性；
②作y2^x与y=x²的图象，图象交点个数即为函数f（x）=2^x-x²的零点个数；
③|x+1|+|x-3|几何意义是点x到点-1与点3的距离之和，从而得解；
④由基本不等式可判断出

2

a

+

1

b

≥9，

2

a

+

1

b

≥8当然也成立；
⑤当φ=

3

2

π时，函数y=sin（2x+φ）=-cos2x是偶函数，当φ=

1

2

π时，函数y=sin（2x+φ）也是偶函数；故是充分不必要条件．

解答： 解：①函数y=

x

x2+4

=

1

x+ 4 x

在区间[1，2]上是增函数，[2，3]上是减函数，故错误；
②作y2^x与y=x²的图象如右图，则函数f（x）=2^x-x²有3个零点，故正确；
③∵|x+1|+|x-3|几何意义是点x到点-1与点3的距离之和，
且点-1与点3的距离为4；
故若不等式|x+1|+|x-3|≥a恒成立，则a≤4，故正确；
④已知a，b∈R⁺，2a+b=1，
则

2

a

+

1

b

=

4a+2b

a

+

2a+b

b

=5+2（

b

a

+

a

b

）≥9（当且仅当a=b=

1

3

时，等号成立），故正确；
⑤当φ=

3

2

π时，函数y=sin（2x+φ）=-cos2x是偶函数，
当φ=

1

2

π时，函数y=sin（2x+φ）也是偶函数；
故φ=

3

2

π是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件，故正确．
故答案为：②③④⑤．

点评：本题借命题真假性的判断同时考查了三角函数，基本不等式，不等式，绝对值不等式，函数的单调性及函数的图象的应用等，综合性很强，属于难题．