Question

市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%（x＞0），销售量就减少kx%（其中k为正常数）．目前，该商品定价a元，统计其销售数量为b个．
（1）当k=

1

2

时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？
（2）在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时的k的取值范围．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当k=

1

2

时，减函数函数关系式即可．
（2）根据二次函数的图象和性质即可得到结论．

解答： 解析：（1）当k=

1

2

时，销售的总金额y=a（1+x%）?b（1-kx%）=-

ab

2

（x%+1）（x%-2）
=-

ab

2

（x%-

1

2

）²+

9

8

ab≤

9

8

ab，
答：该商品的价格上涨50%的时候，销售的总金额达到最大值

9

8

ab元．
（2）y=a（1+x%）?b（1-kx%）=ab（1+x%）（1-kx%）=

ab

10000

[kx²-100（k-1）x+10000]（k＞0）
据题意，就是使函数在（0，+∞）上单增，则

100(k-1)

2k

≤0⇒0＜k≤1
答：使销售总金额不断增加时的k的取值范围是（0，1]．

点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立二次函数关系结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键．