Question

8．数列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a为常数），若平面上三个不重合的点A，B，C共线，且该直线不过点O，且$\overrightarrow{OC}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{{a}_{2011}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，则S₂₀₁₁等于（　　）

• A． 1005
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2010
• D． 2011

Answer 1

分析 平面上三个不重合的点A，B，C共线，且该直线不过点O，且$\overrightarrow{OC}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{{a}_{2011}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，l利用向量共线定理可得：$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2011}}{2}$=1．由于数列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a为常数），可得此数列是等差数列，即可得出．

解答 解：∵平面上三个不重合的点A，B，C共线，且该直线不过点O，且$\overrightarrow{OC}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{{a}_{2011}}{2}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2011}}{2}$=1，
∵数列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a为常数），
∴此数列是等差数列，
则S₂₀₁₁=$\frac{2011（{a}_{1}+{a}_{2011}）}{2}$=2011，
故选：D．

点评 本题考查了向量共线定理、等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．