Question

在四棱锥P-ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，O为AB的中点，且PO⊥平面ABCD，OD与AC交于点F，E为PD上一点，且PD=3PE．
（1）求证：平面ACE⊥平面ABCD；
（2）若∠ABC=60°，求异面直线AB与CE所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先根据已知条件，通过成比例得到EF∥PO，另因为PO⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．
，进一步求得结果．
（2）利用（1）的结论进一步把异面直线的夹角进行转化成CD与CE所成的角．进一步利用所求的线段长，利用余弦定理求出结果．

解答： 证明：（1）连接EF，由于在平面ABCD中，AC和OD相交于F，
已知△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，O为AB的中点，
根据平行线分线段成比例定理：

DF

OF

=

CD

OA

=

2

1

由于：PD=3PE．
则：

OF

FD

=

PE

ED

=

1

2

所以：EF∥PO，
PO⊥平面ABCD，
所以：EF⊥平面ABCD．
EF?平面ACE
所以：平面ACE⊥平面ABCD．
（2）在△AOD中，
已知：∠ABC=60°，
则：∠BAD=120°
进一步求出：OP=

3

，OD=2，OA=1
利用余弦定理：DO²=AO²+AD²-2AO•ADcos∠OAD
解得：DO=

7

由：△PAB是边长为2的正三角形
解得：PO=

3

所以：PD=

10

进一步解得：DE=

2 10

3

由题意得：AC=2，
根据比例的关系进一步求得：CF=

4

3

，EF=

2 3

3

，
利用EF⊥平面ABCD．
所以：CE²=EF²+CF²
解得：CE=

2 7

3

由于：AB∥CD，
则：异面直线AB与CE所成角即是CD与CE所成的角．
在△CED中，利用余弦定理：cos∠ECD=

CE2+CD2-DE2

2CE•CD

解得：cos∠ECD=

13 7

21

所以：异面直线AB与CE所成角的余弦值为

13 7

21

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直之间的转化，解三角形知识，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，异面直线的夹角问题．属于基础题型．