Question

已知函数f（x）=|x+a|+|x-3|当a=-2时，解不等式：f（x）≥4，若f（x）≤|x-5|的解集包括[2，3]，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=-2时，f（x）≥4?|x-2|+|x-3|≥4，通过对自变量x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式组解即可；
（2）依题意知，f（x）≤|x-5|在[2，3]上恒成立?|x+a|+3-x≤5-x在[2，3]上恒成立，利用绝对值不等式的性质即可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=-2时，f（x）≥4?|x-2|+|x-3|≥4，
即

x≤2 2-x+3-x≥4

，或

2＜x＜3 x-2+3-x≥4

，或

x≥3 x-2+x-3≥4

，
解得 x≤

1

2

或x≥

9

2

，
故不等式的解集为 {x|x≤

1

2

或x≥

9

2

}．
（2）原命题即f（x）≤|x-5|在[2，3]上恒成立，等价于|x+a|+3-x≤5-x在[2，3]上恒成立，
等价于-2-x≤a≤2-x在[2，3]上恒成立，
解得-4≤a≤-1，故a的取值范围为[-4，-1]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，通过对自变量x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式组是关键，考查分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．