Question

定义在非零实数集上的奇函数f（x）在（-∞，0）上时减函数，且f（-3）=0．
（1）求f（3）的值；
（2）求满足f（x）＞0的x的集合；
（3）若g（x）=

2

acos（x+

π

4

）+1-a（a∈R），x∈[

3π

2

，2π]，是否存在正实数a，使得f（g（x））＞0恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义和性质即可求f（3）的值；
（2）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可求满足f（x）＞0的x的集合；
（3）不等式f（g（x））＞0等价为0＜g（x）＜3或g（x）＜-3，利用三角函数的单调性和值域即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，且f（-3）=0，
∴f（3）=-f（-3）=0；
（2）∵奇函数f（x）在（-∞，0）上时减函数，
∴函数f（x）在（0，+∞）上时为减函数，
当x＞0时，f（x）＞0等价为f（x）＞f（3），即0＜x＜3，
当x＜0时，f（x）＜0等价为f（x）＞f（-3），即x＜-3，
即满足f（x）＞0的x的集合为（0，3）∪（-∞，-3）；
（3）由（2）知f（x）＞0的x的集合为（0，3）∪（-∞，-3）；
则f（g（x））＞0等价为0＜g（x）＜3或g（x）＜-3，
若g（x）=

2

acos（x+

π

4

）+1-a（a∈R），x∈[

3π

2

，2π]，
则x+

π

4

∈[

7π

4

，

9π

4

]，
此时

2

2

≤cos（x+

π

4

）≤1，
则1≤

2

acos（x+

π

4

）+1-a≤（

2

-1）a+1，
由题意可知若不等式恒成立，
则（

2

-1）a+1＜3，
即a＜

2

2 -1

=2（

2

+1），
故0＜a＜2（

2

+1），
则存在正实数a，当0＜a＜2（

2

+1）时，使得f（g（x））＞0恒成立．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．