Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，4]，f（x）＞6恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a=4，利用基本不等式求得f（x）的最小值．
（2）由题意可得，a＞-x²+4x，当x∈[1，4]时恒成立，故a＞g（x）_max，再利用二次函数的性质求得 g（x）_max，从而求得a的范围．

解答 解：（1）由a=4，∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$+2≥6，当x=2时，取得等号．
即当x=2时，f（x）取得最小值为6．
（2）x∈[1，4]，$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞6恒成立，即x∈[1，4]，x²+2x+a＞6x恒成立．
等价于a＞-x²+4x，当x∈[1，4]时恒成立，
令g（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，x∈[1，4]，
∴a＞g（x）_max=g（2）=4，即a的取值范围是{a|a＞4}．

点评 本题主要考查利用基本不等式、二次函数的性质求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．