Question

已知函数f（x）的定义域为A，
①如果对于任意x₁、x₂∈A，x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则称函数f（x）是凹函数．
②如果对于任意x₁、x₂∈A，x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则称函数f（x）是凸函数．
（1）判断函数y=x²是凹函数还是凸函数，并加以证明；
（2）判断函数f（x）=log₂x是凹函数还是凸函数，并加以证明．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数y=x²的定义域是R，是凹函数．证明如下：?x₁、x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，求出f（

x1+x2

2

），

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]．比较f（

x1+x2

2

）与

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]的大小即可判断函数是凹函数．
（2）函数f（x）=log₂x的定义域是（0，+∞），函数是凸函数证明如下与（1）的解法一样．

解答： 解：（1）函数y=x²的定义域是R，是凹函数．
证明如下：
?x₁、x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，
f（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2，

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[x₁²+x₂²]．
∵f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=(

x1+x2

2

)2-

1

2

[x₁²+x₂²]=-

1

4

(x1-x2)2＜0，
所以f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，即函数f（x）=x²是凹函数．
（2）函数f（x）=log₂x的定义域是（0，+∞），函数是凸函数．
证明如下：
?x₁、x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，
f（

x1+x2

2

）=log₂（

x1+x2

2

），

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

log₂x₁+

1

2

log₂ x₂=

1

2

log₂x₁x₂
∵f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=log₂（

x1+x2

2

）-

1

2

 log₂ x₁ x₂=log₂（

x1+x2

2

）-log₂ 

x1x2

=log₂（

x1+x2

2 x1x2

）
而x₁+x₂-2

x1x2

=（

x1

-

x2

）²＞0，所以

x1+x2

2 x1x2

＞1，log₂（

x1+x2

2 x1x2

）＞0，
所以f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，即函数f（x）=log₂x是凸函数．…（16分）

点评：本题考查函数与方程的应用，函数的凹凸性的判断，考查计算能力．