Question

已知点P是圆C：x²+y²=4上的动点．
（1）求点P到直线x+y-4=0的距离的最小值；
（2）若直线l与圆C相切，且l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，求△ABC的面积最小时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由圆的性质可得：P到直线l：x+y-4=0的距离的最小值是圆心到直线l的距离减去半径，结合点到直线的距离公式可得答案．
（2）设直线l的方程为：y=kx+b，根据题意可得：k＜0，b＞0，又因为l与圆C相切，得到b关于k的一个关系式，再用b与k表示出三角形的面积可得：S_△ABC=

1

2

•(-

b

k

)•b=

-(4k2+4)

2k

=2（-k+

1

-k

）≥4，然后利用基本不等式求出面积的最大值与k、b的值即可．

解答： 解：（1）圆心到直线l的距离为d=

|-4|

1+1

=2

2

所以P到直线l：x+y-4=0的距离的最小值为：2

2

-2；
（2）设直线l的方程为：y=kx+b，
因为l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，所以k＜0，b＞0，且A（-

b

k

，0），B（0，b），
又因为l与圆C相切，
所以C点到直线l的距离等于圆的半径2，即：

|b|

k2+1

=2，即b²=4k²+4，
所以S_△ABC=

1

2

•(-

b

k

)•b=

-(4k2+4)

2k

=2（-k+

1

-k

）≥4，
当且仅当k=-1时取等号，
所以当k=-1时，△ABC的面积最小，
此时b=2

2

，
所以直线l的方程为y=-x+2

2

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握圆的标准方程与圆的一个性质，以及结合点到直线的距离判断直线与圆的位置关系．