题目内容
如图，BA是圆O的直径，C、E在圆0上，BC、BE的延长线交直线AD于点D、F，BA2=BC•BD．求证：（Ⅰ）直线AD是圆O的切线；
（Ⅱ）∠D+∠CEF=180°．
考点：圆的切线的性质定理的证明,圆的切线的判定定理的证明
专题：选作题,立体几何
分析：（Ⅰ）连AC，证明△ABC∽△DBA，可得∠BAD=∠ACB=90°，即可证明直线AD是圆O的切线；
（Ⅱ）证明四点C、C、E、F四点共圆，即证明∠D+∠CEF=180°．
（Ⅱ）证明四点C、C、E、F四点共圆，即证明∠D+∠CEF=180°．
解答：
证明：（Ⅰ）连AC，
∵BA是圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∵BA2=BC•BD，∴
=
，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，∴∠BAD=∠ACB=90°，
∵OA是圆O的半径，∴直线AD是圆O的切线；…（5分）
（Ⅱ）∵△ABC∽△DBA，∴∠BAC=∠D，
又∠BAC=∠BEC，
∴∠D=∠BEC，
∴四点C、C、E、F四点共圆，∴∠D+∠CEF=180°…（10分）
证明：（Ⅰ）连AC，∵BA是圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∵BA2=BC•BD，∴
| BA |
| BC |
| BD |
| BA |
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，∴∠BAD=∠ACB=90°，
∵OA是圆O的半径，∴直线AD是圆O的切线；…（5分）
（Ⅱ）∵△ABC∽△DBA，∴∠BAC=∠D，
又∠BAC=∠BEC，
∴∠D=∠BEC，
∴四点C、C、E、F四点共圆，∴∠D+∠CEF=180°…（10分）
点评：本题综合考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，考查四点共圆，属于中档题．
练习册系列答案
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