Question

已知椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P（2，

2

），一个焦点F的坐标是（2，0）．
（1）求椭圆T的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆T交于A、B两点，O为坐标原点，椭圆T的离心率为e，若k_OA•k_OB=e²-1，求证：△AOB的面积为定值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆的a，b，c的关系，点P在椭圆上满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由点到直线的距离公式求得O到AB的距离，代入三角形的面积公式证得答案．

解答： （1）解：由题意可得，c=2，即有a²-b²=4，
又

4

a2

+

2

b2

=1，解得，a=2

2

，b=2，
则随圆T的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）证明：e=

c

a

=

2

2

．则k_OA•k_OB=e²-1=-

1

2

，
将y=kx+m代入

x2

8

+

y2

4

=1，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
由△＞0，得8k²-m²+4＞0．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k²•

2m2-8

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

．
∵k_OA•k_OB=-

1

2

，
∴

y1y2

x1x2

=

m2-8k2

2m2-8

=-

1

2

，即m²-4k²=2．
∵|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -4km 1+2k2 )2- 8m2-32 1+2k2

=

4 1+k2

1+2k2

．
又O点到直线y=kx+m的距离d=

|m|

1+k2

，
∴S_△AOB=

1

2

d|AB|=

1

2

•

|m|

1+k2

•

4 1+k2

1+2k2

=

1

2

•

2(1+2k2)

1+k2

•

4 1+k2

1+2k2

=2

2

为定值．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了弦长公式及点到直线的距离公式，是高考试卷中的压轴题．