Question

设{a_n}，{b_n}都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列．
（1）试问{b_n}是否成等差数列？为什么？
（2）如果a₁=1，b₁=

2

，求数列{

1

an

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据等差数列和对比数列的关系进行推导即可
（2）求出数列{

1

an

}的通项公式，利用裂项法进行求和即可．

解答： 解：∵a_n，b_n²，a_n+1成等差数列，b_n²，a_n+1，b_n+1²成等比数列，
∴得2b_n²=a_n+a_n+1 ①，a_n+1²=b_n²b_n+1²  ②…（2分）
（1）∵a_n＞0，b_n＞0，
∴由②得a_n+1=b_nb_n+1，从而当n≥2时，a_n=b_n-1b_n，
代入式①得2b_n²=b_nb_n+1+b_n-1b_n，…（4分）
即2b_n=b_n+1+b_n-1，（n≥2），故{b_n}是等差数列． …（6分）
（2）由a₁=1，b₁=

2

及式①，式②，易得a₂=3，b₂=

3 2

2

   …（8分）
因此{b_n}的公差d=

2

2

，从而b_n=b₁+（n-1）d=

2

2

（n+1），得a_n+1=

1

2

（n+1）（n+2），
即a_n=

1

2

n（n+1）③…（10分）
又a₁=1也适合式③，得a_n=

1

2

n（n+1），
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
从而S_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

…（14分）

点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和，要求熟练掌握裂项法在数列求和过程中的应用．