Question

已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|，
（Ⅰ）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（Ⅱ）当a=1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a²+b²+c²≥3．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,证明题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出a=-3的不等式，通过讨论x的范围，去绝对值，分别解出它们，再求并集即可；
（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，求得m=3，再由三元柯西不等式即可得证．

解答： （Ⅰ）解：当a=-3时，f（x）≥3?|x-3|+|x-2|≥3
?

x≤2 3-x+2-x≥3

或

2＜x＜3 3-x+x-2≥3

或

x≥3 x-3+x-2≥3

?x≤1或x≥4，
则解集为（-∞，1]∪[4，+∞）；
（Ⅱ）证明：由于|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
当且仅当-1≤x≤2时，等号成立，
则f（x）的最小值为3，即m=3．
即有a+b+c=3，又a，b，c为正实数，
则有（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=9，
即有a²+b²+c²≥3．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题．