Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=1-a_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=4（n+1）a_n，T_n是数列{b_n}的前n项和，n∈N^*，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法进行求解．

解答： 解：（1）∵S_n=1-a_n，
∴S_n+1=1-a_n+1，
两式相减得S_n+1-S_n=1-a_n+1-（1-a_n）=a_n-a_n+1，
即a_n+1=a_n-a_n+1，
则2a_n+1=a_n，
则

an+1

an

=

1

2

，
当n=1时，a₁=1-a₁，
解得a₁=

1

2

，
即数列{a_n}是以a₁=

1

2

为首项，公比q=

1

2

的等比数列，
则a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=(

1

2

)n；
（2）b_n=4（n+1）a_n=4（n+1）(

1

2

)n；
则T_n=4[2×（

1

2

）¹+3×（

1

2

）²+…+n×（

1

2

）^n-1+（n+1）（

1

2

）ⁿ]，
于是

1

2

T_n=4[2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+n×（

1

2

）ⁿ+（n+1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹]，
两式相减得

1

2

T_n=4[2×（

1

2

）¹+（

1

2

）²+…+（

1

2

）ⁿ-（n+1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹]=4[1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹]=4[

3

2

-(n+3)•(

1

2

)n+1]=
∴T_n=12-（n+3）（

1

2

）^n-2．

点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查数列求和，要求熟练掌握错位相减法．