Question

x＞1时，f（x）=x+

1

x

+

16x

x2+1

的最小值是

 

，此时x=

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由x＞1时，可得x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号．令t=x+

1

x

≥2，可得f（x）=x+

1

x

+

16x

x2+1

=x+

1

x

+

16

x+ 1 x

=t+

16

t

，再一次利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵x＞1时，∴x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号．
令t=x+

1

x

≥2，
则f（x）=x+

1

x

+

16x

x2+1

=x+

1

x

+

16

x+ 1 x

=t+

16

t

≥2

t• 16 t

=8，当且仅当t=4即x=2+

3

时取等号．
∴f（x）=x+

1

x

+

16x

x2+1

的最小值是 8，此时x=2+

3

．
故答案为：8，2+

3

．

点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．