Question

已知函数f（x）=

2x+1

x+1

．
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据增函数的定义进行判断和证明；
（2）利用（1）的结论，利用函数的单调性．

解答： 解：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2x1+1

x1+1

-

2x2+1

x2+1

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

，
∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数，
∴最大值f（4）=

2×4+1

4+1

=

9

5

，最小值f（1）=

2×1+1

1+1

=

3

2

．

点评：本题主要考查函数的单调性和最大（小）值，属于比较基础题．