Question

定义在R上的函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k为常数).

(1)判断k为何值时,f(x)为奇函数,并证明;

(2)设k=-1,f(x)是R上的增函数,且f(4)=5,若不等式f(mx²-2mx+3)>3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

Answer 1

解:(1)若f(x)在R上为奇函数,则f(0)=0,

令a=b=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+k,所以k=0.

证明:由f(a+b)=f(a)+f(b),令a=x,b=-x,

则f(x-x)=f(x)+f(-x),

又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.

(2)因为f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3.

所以f(mx²-2mx+3)>3=f(2)对任意x∈R恒成立.

又f(x)是R上的增函数,所以mx²-2mx+3>2对任意x∈R恒成立,

即mx²-2mx+1>0对任意x∈R恒成立,

当m=0时,显然成立;

当m≠0时,由得0<m<1.

所以实数m的取值范围是[0,1).