Question

设f（x）=

x2(x≥-1) - 1 x (x＜-1)

，已知方程f²（x）+af（x）+b=0恰好有三个互异的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：画出f（x）=

x2(x≥-1) - 1 x (x＜-1)

的图象，令t=f（x），则可将方程f²（x）+af（x）+b=0恰好有三个互异的实数根，转化为t²+at+b=0只有一个实根t₀，满足t₀∈（0，1），或t²+at+b=0有两个实根t₁，t₂，满足t₀=1，t₂∈（1，+∞）或t₂=0，进而求出a的取值范围．

解答： 解：f（x）=

x2(x≥-1) - 1 x (x＜-1)

的图象如下图所示：
，
令t=f（x），若方程f²（x）+af（x）+b=0恰好有三个互异的实数根，则：
t²+at+b=0只有一个实根t₀，满足t₀∈（0，1）
或t²+at+b=0有两个实根t₁，t₂，满足t₀=1，t₂∈（1，+∞）或t₂=0，
若t²+at+b=0只有一个实根t₀，满足t₀∈（0，1），则-

a

2

∈（0，1），解得：a∈（-2，0），且a²-4b=0，
若t²+at+b=0有两个实根t₁，t₂，满足t₀=1，t₂∈（1，+∞）或t₂=0，则b=0，-a∈（1，+∞），解得：a∈（-∞，-1），且b=0，
综上所述：当a²-4b=0时，a的取值范围是a∈（-2，0），
当b=0时，a的取值范围是（-∞，-1）

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．