Question

a＞0，a≠1，p：log_a（x+3）在（0，+∞）单调增，q：x²+（2a-3）+1的图象与x轴交于不同的两点，若p∨q为真，p∧q为假，求a范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：首先，分别求出当命题p和命题q为真命题时，实数a的取值情形，然后，根据p∧q为假命题，p∨q为真命题，这个条件，得到p，q命题一真一假，然后，确定实数a的取值范围．

解答： 解：若命题p：log_a（x+3）在（0，+∞）上单调增，为真命题，则a＞1；
若命题q：x²+（2a-3）+1的图象与x轴交于不同的两点，为真命题，则△=（2a-3）²-4＞0，即a＞

5

2

或0＜a＜

1

2

，
因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q命题一真一假．
（1）当p真q假时：“a＞1“且“

1

2

≤a≤

5

2

，a≠1“⇒1＜a≤

5

2

，
（2）当p假q真时：“0＜a＜1“且“a＞

5

2

或0＜a＜

1

2

“⇒0＜a＜

1

2

，
综上，实数a的取值范围是（0，

1

2

）∪（1，

5

2

]．

点评：本题重点考查了复合命题的真假判断和函数的性质的综合运用等知识，属于中档题．