Question

4．用max{x，y}表示x，y两个数中的最大数，若△ABC的三个内角满足：A≤B≤C，则$max\left\{{\frac{sinA}{sinB}，\frac{sinB}{sinC}}\right\}$的取值范围为（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 运用正弦定理可得$max\left\{{\frac{sinA}{sinB}，\frac{sinB}{sinC}}\right\}$=max{$\frac{a}{b}$，$\frac{b}{c}$}，由A≤B≤C，可得a≤b≤c，即有$\frac{a}{b}$≤1，$\frac{b}{c}$≤1，再由a+b＞c，两边同除以b，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由正弦定理可得，$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$，$\frac{b}{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$，
即有$max\left\{{\frac{sinA}{sinB}，\frac{sinB}{sinC}}\right\}$=max{$\frac{a}{b}$，$\frac{b}{c}$}，
由A≤B≤C，可得a≤b≤c，
即有$\frac{a}{b}$≤1，$\frac{b}{c}$≤1，
当$\frac{a}{b}$≥$\frac{b}{c}$，即有max{$\frac{a}{b}$，$\frac{b}{c}$}=$\frac{a}{b}$，
由于a+b＞c，可得$\frac{a+b}{b}$＞$\frac{c}{b}$≥$\frac{b}{a}$，
即有（$\frac{a}{b}$）²+$\frac{a}{b}$-1＞0，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜$\frac{a}{b}$≤1；
当$\frac{a}{b}$＜$\frac{b}{c}$，即有max{$\frac{a}{b}$，$\frac{b}{c}$}=$\frac{b}{c}$，
由于a+b＞c，可得$\frac{a+b}{b}$＞$\frac{c}{b}$，
即有$\frac{b}{c}$+1＞$\frac{a+b}{b}$＞$\frac{c}{b}$，
即为（$\frac{b}{c}$）²+$\frac{b}{c}$-1＞0，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜$\frac{b}{c}$≤1．
综上可得$max\left\{{\frac{sinA}{sinB}，\frac{sinB}{sinC}}\right\}$的取值范围为（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1]．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查正弦定理的运用，以及三角形的两边之和大于第三边，考查运算能力，属于中档题．