Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，且平面PAB⊥平面ABCD，若AB=2，BC=1，$AD=BD=\sqrt{5}$．
（1）求证：PA⊥平面PBC；
（2）若点M在棱PB上，且PM：MB=3，求证CM∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的性质可得BC⊥平面PAB，故而BC⊥PA，结合PA⊥PB得出PA⊥平面PBC；
（2）在AB上取点N，使得AN：BN=3，取AB的中点O，连结MN，CN，PO，OD，则可证MN∥PA，CN∥AD，于是平面MNC∥平面PAD，故CM∥平面PAD．

解答 证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，又PA?平面PAB，
∴BC⊥PA，
又PA⊥PB，PB∩BC=B，PB?平面PBC，BC?平面PBC，
∴PA⊥平面PBC．
（2）在AB上取点N，使得AN：BN=3，取AB的中点O，连结MN，CN，PO，OD，
∵$\frac{PM}{BM}=\frac{AN}{BN}=3$，∴MN∥PA．
由（1）知BC⊥平面PAB，∴BC⊥BN，
∵BN=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{2}$，BC=1，∴tan∠BNC=$\frac{BC}{BN}=2$．
∵AD=BD=$\sqrt{5}$，AB=2，O是AB的中点，
∴OD⊥AB，OA=1，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=2，
∴tan∠OAD=$\frac{OD}{OA}=2$，
∴∠BNC=∠OAD，∴CN∥AD，
又MN∩CN，PA∩AD=A，
∴平面MNC∥平面PAD．
又∵CM?平面MNC，
∴CM∥平面PAD．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，属于中档题．