Question

20．若实数x，y 满足$\frac{1}{si{n}^{2}y}+\frac{1}{co{s}^{2}y}$=2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$，则$\frac{ta{n}^{2}y}{2x}$的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数平方关系式化简，根据基本不等式的性质可得答案．

解答 解：满足$\frac{1}{si{n}^{2}y}+\frac{1}{co{s}^{2}y}$=2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$，
可得：$\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{co{s}^{2}y}+\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{si{n}^{2}y}$=2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$，
∵$\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{co{s}^{2}y}+\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{si{n}^{2}y}$≥2+2=4，当且仅当sin²y=cos²y时取得等号，则tan²y=$\frac{si{n}^{2}y}{co{s}^{2}y}=1$．
∴2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$≥4
即x-e^x-1+2≥2．
∴x-e^x-1≥0．
当x=1时，可得取得等号．
∴则$\frac{ta{n}^{2}y}{2x}$=$\frac{1}{2×1}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的运算和指数幂的运算性质，基本不等式等号取得的情况．属于中档题．