Question

若函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），非零向量

m

=（a，b），我们称

m

为函数f（x）的“相伴向量”，f（x）为向量

m

的“相伴函数”．
（Ⅰ）已知函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2（ω＞0）的最小正周期为2π，求函数f（x）的“相伴向量”；
（Ⅱ）记向量

n

=（

3

，1）的“相伴函数”为g（x），将g（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向左平移

2π

3

个单位长度，得到函数h（x），若h（2α+

π

3

）=

6

5

，α∈（0，

π

2

），求sinα的值；
（Ⅲ）对于函数φ（x）=sinxcos2x，是否存在“相伴向量”？若存在，求出φ（x）“相伴向量”；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（I）利用三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的性质、“相伴向量”的定义即可得出；
（II）利用“相伴函数”的定义可得：g(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)，再利用三角函数的变换法则可得h(x)=2sin[

1

2

(x+

2π

3

)+

π

6

]，化为h（x）=2cos

1

2

x．
由于h(2α+

π

3

)=

6

5

，可得cos(α+

π

6

)=

3

5

，利用α∈(0，

π

2

)，可得α+

π

6

∈(

π

6

，

2π

3

)，进而得到sin(α+

π

6

)=

4

5

，再利用sinα=sin[(α+

π

6

)-

π

6

]展开即可得出．
（III）若函数φ（x）=sinxcos2x存在“相伴向量”，则存在a，b，使得sinxcos2x=asinx+bcosx对任意的x∈R都成立，通过对x取值即可判断出．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+cos2ωx-2=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin(2ωx+

π

4

)，
依题意得

2π

2ω

=2π，故ω=

1

2

．
∴f（x）=sinx+cosx，即f（x）的“相伴向量”为（1，1）．
（Ⅱ）依题意，g(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)，
将g（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数y=2sin(

1

2

x+

π

6

)，
再将所得的图象上所有点向左平移

2π

3

个单位长度，得到h(x)=2sin[

1

2

(x+

2π

3

)+

π

6

]，即h(x)=2sin(

1

2

x+

π

2

)=2cos

1

2

x，
∵h(2α+

π

3

)=

6

5

，∴cos(α+

π

6

)=

3

5

，
∵α∈(0，

π

2

)，∴α+

π

6

∈(

π

6

，

2π

3

)，∴sin(α+

π

6

)=

4

5

，
∴sinα=sin[(α+

π

6

)-

π

6

]=sin(α+

π

6

)cos

π

6

-cos(α+

π

6

)sin

π

6

=

4 3 -3

10

．
（Ⅲ）若函数φ（x）=sinxcos2x存在“相伴向量”，
则存在a，b，使得sinxcos2x=asinx+bcosx对任意的x∈R都成立，
令x=0，得b=0，
因此sinxcos2x=asinx，即sinx=0或cos2x=a，
显然上式对任意的x∈R不都成立，
∴函数φ（x）=sinxcos2x不存在“相伴向量”．

点评：本题考查了三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的性质、“相伴向量”的定义、“相伴函数”的定义、三角函数的变换方法、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．