Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．
（Ⅰ）若点E在对角线BD₁上移动，求证：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）当E为棱AB中点时，求点E到平面ACD₁的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）若点E在对角线BD₁上移动，求证：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）分别以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间坐标系，求出向量

AD1

，

AC

的坐标，设点E到平面ACD₁的距离，求出平面ACD₁的法向量，利用距离公式可得答案．

解答： （Ⅰ）证明：由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，得：AB⊥面ADD₁A₁．
而A₁D?面ADD₁A₁，∴AB⊥A₁D．
又由正方形ADD₁A₁，得：A₁D⊥AD₁，而AD₁∩AB=A
∴A₁D⊥面ABD₁，
于是A₁D⊥BD₁，
∵E∈BD₁，∴D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）解：分别以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间坐标系，知E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），
则

AD1

=（-1，0，1），

AC

=（-1，2，0），
设点E到平面ACD₁的距离为d，

n

=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，
则

-x+z=0 -x+2y=0

，取

n

=（2，1，2），
而

AE

=（0，1，0），
∴d=

| n • AE |

| n |

=

1

3

为所求．

点评：本题考查线面垂直，考查利用空间向量求点到平面的距离，考查转化思想，考查学生空间想象能力、逻辑推理能力．