Question

设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件：（1）f（x）在R上是减函数；（2）f（xy）=f（x）+f（y）；（3）f（3）=-1．
（1）求f（1）和f（

1

3

）的值；
（2）解不等式f（x）+f（x-

8

9

）＜2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1，x=3，y=

1

3

，即可求得f（1）、f（

1

3

）的值；
（2）根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．

解答： 解：（1）I）∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，
对正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则 f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=3，y=

1

3

，∴f（3×

1

3

）=f（3）+f（

1

3

）
∴f（1）=f（3）+f（

1

3

）
又∵f（3）=-1，
∴f（

1

3

）=1；
（2）令x=y=

1

3

则f（

1

3

×

1

3

）=f（

1

3

）+f（

1

3

），
∴f（

1

9

）=1+1=2
∵f（x）+f（x-

8

9

）＜2．
∴f[x（x-

8

9

）]＜f（

1

9

），
又∵f（x）在R上是单调增函数，
∴x（x-

8

9

）＞（

1

9

）
解得x＞1或x＜

1

9

．
∴原不等式的解集为{x|x＞1或x＜

1

9

}．

点评：考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想．